Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Ответ: 3.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

- В в е д е н и е -

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Евроᴨȇ были вᴨȇрвые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Евроᴨȇ лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = k x + m , у = x 2 , у = - x 2 , в 8 классе - у = v x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3 , у = x 4 , у = x 2 n , у = x - 2 n , у = 3 vx , (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы котоҏыҳ равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k 0. График этой функции называется гиᴨȇрболой.

Функция (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 , где а , b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с - некоторые числа и а 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2 (a - x ) = x 2 (a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 - y 2 ) . График этого уравнения называется лемʜᴎϲкатой Бернулли.

Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x 2 y 2 - 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x 3 - кубическая парабола, у = x 4 , у = 1/ x 2 .

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение - выражение, содержащее ᴨȇременную.

Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, в связи с этим метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек ᴨȇресечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f (x ) , можно построить графики функций у = f (x + m ) , у = f (x )+ l и у = f (x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f (x ) с помощью преобразования параллельного ᴨȇреноса: на ¦ m ¦ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на ¦ l ¦ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиᴨȇрболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

Находим координаты вершины параболы А (х 0 ; у 0): х 0 =- b /2 a ;

Y 0 =ах о 2 +вх 0 +с;

Находим ось симметрии параболы (прямая х=х 0);

Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x 2 - 2 x - 3 . Абсциссы точек ᴨȇресечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 -3 и y =2 x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x 2 - 2 x - 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = (x -1) 2 и y =4 . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0 на x , получим x - 2 - 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/ x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения прямой и гиᴨȇрболы.

5. Графическое решение уравнений стеᴨȇни n

Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 - 2 x .

y = x 5 , y = 3 - 2 x .

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3 v x = 10 - x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки ᴨȇресечения графиков двух функций: y = 3 v x , y = 10 - x .

Ответ: x = 8.

- З а к л ю ч е н и е -

Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = v x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 , у = 3 vx , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного ᴨȇреноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений стеᴨȇни n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек ᴨȇресечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного ᴨȇреноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Графическое решение квадратного уравнения Закрепить умение строить графики различных функций; Формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом. г. Брдск 2009 Муниципальное общеобразовательное учреждение – Экономический лицей Обобщающий урок по теме «Квадратичная функция», алгебра 8 класс учитель Федосеева Т.М.

Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a" title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a"> title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a">

0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" class="link_thumb"> 3 Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x Решить уравнение х 2 +2х-3=0 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x 0 1 -4 23 Решить уравнение х 2 +2х-3=0"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк">

Второй способ: а). Уравнение х 2 -2х-3=0 разобьём на части х 2 = 2х+3 Запишем две функции у= х 2 ; у=2х+3 Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0

Третий способ: х 2 -3 = 2х y= х 2 -3; y=2х Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0